La prova del nove è uno di quei fenomeni da baraccone matematici che vengono insegnati a un certo punto della carriera scolastica per poi non venire mai più
ripresi, a meno che uno non ci si metta di impegno per andarli a ripescare, da universitario o laureato, e rileggerli con occhi nuovi. Cugini della prova del nove, da questo punto di vista, sono la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, i radicali doppi e i criteri di divisibilità per 3 e per 11.

Le regole della prova del nove, peraltro, sono piuttosto sconcertanti. Dopo aver eseguito la nostra moltiplicazione a mano, non dobbiamo far altro che prendere i due fattori, sommare le cifre di ognuno - tranne i '9' che vanno sostituiti con lo zero, ripetere il tutto fino a che i fattori non siano diventati due sputacchi a una cifra sola, infine moltiplicarli così come sono diventati. Quello che viene va ancora tritato allo stesso modo (tanto avrà al massimo due cifre) e confrontato con il risultato della moltiplicazione originale, anche lui debitamente accartocciato. Se i due numeri non coincidono, si è sbagliato qualcosa nella moltiplicazione di partenza; se invece i numeri coincidessero, non c'è alcuna garanzia che abbiamo svolto correttamente le operazioni.

Esempio. Consideriamo i due numeri a = 1020000133 e b = 22221. Il risultato della loro moltiplicazione è a x b = 22665422955393. Brutto numero. Per sapere se abbiamo cannato qualcosa, sommiamo le cifre di a e di b, rispettivamente. a diventa 1+2+1+3+3 = 10 che diventa 1+0 = 1. b invece si riduce a 2+2+2+2+1 = 9,
che sostituiamo con 0. Se la moltiplicazione di prima è stata fatta correttamente, la somma delle cifre di 22665422955393 dovrà essere uguale a 1x0 = 0. Si verifica subito che 2+2+6+6+5+4+2+2+9+5+5+3+9+3 = 63, e che 6+3 = 9, che diventa 0. Quindi il risultato potrebbe essere giusto.

Ok, ma che senso ha sommare le cifre? E perché il '9' vale zero? Rispondere alle due domande ci porta dritti al cuore della prova.

In pratica, quello che stiamo facendo altro non è che calcolare i resti della divisione per nove dei fattori e del risultato. Intuitivamente (ma è dimostrabile), se la moltiplicazione iniziale è giusta, la moltiplicazione dei resti dei fattori deve risultare uguale al resto del prodotto. Se il confronto ha successo, invece, non possiamo ovviamente concludere alcunché di certo: infatti esistono infiniti numeri con lo stesso resto, e posto che abbiamo svolto le somme correttamente c'è più del 10% di probabilità di ottenere un falso positivo.

Una volta intuito questo, per calcolare il resto della divisione per nove di un qualsiasi numero, basta pensare che tutte le potenze di dieci (10, 100, 10000...) altro non sono che la somma di un numero di soli '9' con l'unità (9+1, 99+1, 9999+1...) e quindi, diviso nove, danno tutte resto uno. Visto che qualsiasi numero è una somma di potenze di dieci, il resto sarà pari alla somma delle cifre. Il '9', essendo divisibile per se stesso, darà ovviamente un resto nullo.

Impara l'arte, e rimettila da parte: possiamo tranquillamente posare nello scatolone la prova del nove, assieme ai suoi miseri resti.